Imaginantia

思ったことを書きます

遠心力を計算したい

メモです。

物体を姿勢 $x\mapsto Rx+b$ から $x\mapsto R'x+b'$ に移動したときの点 $p$ に掛かる遠心力がほしい。

$R$ は回転行列なので回転軸が存在し、それによってこの移動に関する不動点の集合は直線か空間全体を成す。

不動点を計算するのはめんどくさそうなので別の方法を考えたい。

Wikipediaをチラ見するとほしい遠心力は $\mathbf{F}=m\omega^2\mathbf{r}$ で表せる。

角速度 $\omega$ は $R$ と $R'$ のみから出る。質量 $m$ は好きに決めれば良い。

$\mathbf{r}$ は不動点の成す直線を中心として垂直面に射影したときの座標なので、それを計算するのがめんどい。

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そういえば一般に $\mathbf{v} = \mathbf{r}\times\boldsymbol{\omega}$ だった。つまり $\mathbf{F} = m\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{v}$ でいい気がする。外積がいい感じに射影を取ってくれるので向きも正しそう。

向き付きの $\boldsymbol{\omega}$ は差分となる回転行列 $R'R^{-1}$ をAxis-Angle形式に直せばよくて、この辺を見れば良い。ちゃんとやるならベクトルの長さは $\theta/\Delta t$ になると思う。

$\mathbf{v}$ はこの段階ではもう単なる2点間の移動量 $(R'p+b' - Rp-b)/\Delta t$ になるのでもう情報は十分。

というわけで1F前の姿勢/位置を覚えておけば掛かる力が計算できそう。というか多分できた。合ってる保証はないけど見た目はそれっぽい。