Imaginantia

思ったことを書きます

TensorとHom

adjunctionの話じゃなくて。

$A\otimes B = \mathrm{Hom}(A^*,B)$ を整理したかった。

Hom

$\lbrack A,B\rbrack = \{f \mid f : A \to B\}$ に成るベクトル空間。

双対ベクトル空間

$A^* = \{ f \mid f : A \to \mathbb{F} \}$ に成るベクトル空間。 $A^* = [A,\mathbb{F}]$ でもある。

$a^*,b^* \in A^*$ に対して、 $a^* + b^* = \lambda x. a^*(x) + b^*(x)$ である。

元の空間の基底を $e_i$ とすると、対応する双対ベクトル空間の基底として $e^i = \lambda x. x_i$ を取れる。(ここで $x_i$ はベクトル $x$ の $e_i$ 成分)

テンソル積

$A\otimes B = \lbrack A^*,B\rbrack$ である。が、微妙にわかりにくいので考えてみる。

$x\in A \otimes B$ について、 $\displaystyle x = \lambda f. \sum \sum x^{ij} f(e_i) e'_j$ と表せる。

$\displaystyle f = \sum f_i e^i$ と表せ、 $x$ は線形写像であるため $x(f) = \sum f_i x(e^i)$ である。

よって $x$ は $\dim A$ 個のベクトル $x(e^i)$ で決定し、これは独立である。

$x(e^i) = \sum x^{ij} e'_j$ と表せるため、 $x$ は $\dim A \times \dim B$ 個のスカラー $x^{ij}\in \mathbb{F}$ で決定できる。

$\lambda f. \sum \sum x^{ij} f(e_i) e'_j = \sum \sum x^{ij} \lambda f. f(e_i) e'_j$ より、 $\lambda f. f(e_i)e'_j$ は基底を成す。

$x(\lambda f. f(e_i)) \in B$ で成分を取り出したり。逆に $A^*$ 側を取り出す方法はなさそう。